진리표에 대한 간단한 질문

보통 수학에서 합성명제들의 참, 거짓을 판별할 때 진리표를 쓰잖아요.

그런데 그 진리표가 옳다는 것은 어떻게 증명하는지 모르겠네요.

그러니까 예를 들어 'p and q' 에 대한 진리표가 다음과 같이 될 때 저는 이렇게 해석을 했거든요.

 

p  q  'p and q'

T  T       T

T  F       F

F  T       F

F  F       F

 

나의 해석 : p와 q가 동시에 참이 되려면(p and q가 참이 되려면) p가 참이고 q가 참일 수밖에 없다.

                만약 p와 q 중 어느 하나가 거짓이라면 p와 q가 동시에 참이 될 수가 없으므로 나머지 3가지

                경우에는 p and q의 진리값이 거짓이 되는 것이다. 즉, 성분명제의 진리값들에 의해 합성명제의

                진리값(기본적인 합성명제)이 결정되는 것이 아니라 그 합성명제가 특정 진리값을 갖기 위해

                각 성분명제들이 그에 따른 진리값들을 가져야 된다는 것을 진리치표로 나타낸 것이다라고

                본인이 해석함.

 

그런데, 진리값이 저렇게 나오는 것 자체가 이유가 없다고 하는 분들도 계시는데 저는 대학생이 아니라 왜 이유가 없는지 알 수가 없네요. 특히 어떤 책에서는 "p이면 q이다."가 p와 q의 인과관계와는 아무런 관련이 없고 단지 ~(p and (~q) ) 와 동치일뿐이다 라고 되어 있는데 고등수학에서는 "p이면 q이다." 라는 조건문만을 명제로 설명하고 여기서 p를 가정, q를 결론이라고 해서 저는 이것을 일종의 인과관계처럼 생각했거든요;;

그러니까 아무튼 제 질문을 정리하면 대략 요렇습니다.

 

1. 진리치표의 결과들은(합성명제의 진리값들이 그와 같이 나오는 것은) 아무 이유없이 항상 성립하는가?

   항상 성립한다면 그 이유는?(아무 이유없이 성립하는 이유는?)

2. 만약 진리치표의 결과들이 어떤 이유가 있어서 성립한다면 본인(질문자)의 위와 같은 해석이 옳은 것인가,

    아니면 그것이 아닌 다른 이유가 있는가? 그 증명방법은?

3. 조건문이 그 문장의 의미와 진리값의 결과가 서로 다른 이유는?

   ( if p then q 가 문장 자체로 해석해보면 p가 가정, q가 결론이니까 어느 정도 인과관계가 있다고 보이는데

    진리값은 실제로 그렇게 결정되지 않기 때문)

 

제가 평범한 어린이이긴 하지만 인터넷 들쑤셔서 다 찾아내면 되니까 제 수준에 맞게 설명하실 필요 없고

전공 수준으로라도 자세히 설명해주시기 바랍니다. 정말 궁금해서 그래요. 수학 고수님들이나 전공자분들

답변 부탁드립니당~ *^^*

 

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질문자의 대답에 직답을 하자면 그냥 연산의 규칙으로 정한것입니다.

and는 ... 와 같이 정의하다. 라고 못을 박은 것입니다.

 

왜 그렇게 했는가? 그렇게 정한 것이 현실적으로 의미가 있는가?

나를 납득시킬수 있는가 하는 것은 전혀 다른 문제입니다.

 

예를 들어서 닌테도 사에서 게임기를 새로 개발해서 팔았습니다.

그 게임기에 어떤 게임이 돌아 갑니다. (이건 그냥 만든 것입니다)

 

그런데 이 게임기에 현실적인 조건을 넣으니까 그 결과(예측)이 너무

잘 맞는다고 가정해 봅니다. 그러면 닌텐도의 게임기는 현실을 예측하기

 

위해서 만든 것일까요? 아닙니다. 존재하는 어떤 게임(수학게임, 논리게임)

이 현실과의 관계와 의미를 가질수는 있지만 원래 그 게임을 만든 사람의 의도는

아니라고도 할 수 있습니다.

 

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아래의 글은 명제논리에 대한 글을 요약한 것입니다.

 

명제논리의 요소

아톰 (atoms) : 두 아톰 T 와 F 그리고 P, Q, R, ..., P1, P2, on_A_B 등과 같이

대문자로 시작하는 문자열의 무한 대 집합.

 

연결자 (connectives) : "또는 (or)", "그리고 (and)", "함의 (implies)", "부정 (not)"

을 각각 나타내는 ∨, ∧, ⊃, ￢

(나중에 이 연결자들의 의미를 이름과 관련해 설명하겠다.

지금은 그냥 의미가 없는 기호들이라고 하자).

 

문장 (sentences) 이라고도 하는 정형식 (well-formed formulas, wffs) 의 문법 :

 

아톰들은 wff 이다.

    ㆍ예 : P, R, P3

 w1 과  w2 가 wff 이면 다음도 wff 이다.

    ㆍw1∨w2 (w1 과 w2 의 논리합 (disjunction))

 w1∧w2  (w1 과 w2 의 논리곱 (conjunction))

 w1⊃w2  (함의 (implication))

￢w1 (w1 의 부정 (negation))

 

아톰과 ￢ 가 붙어 있는 아톰들을 리터럴 (literal) 이라고 한다.  w1⊃w2  에서 

w1은 함의의 전제 (antecedent) 라고 하고  w2 는 결론 (consequent) 이라고 한다.

 

wff 의 예 :

(P ∧ Q) ⊃ ￢P

P ⊃ ￢P

P ∨ P ⊃ P

(P ⊃ Q) ⊃ (￢Q ⊃ ￢P)

￢￢P

    ㆍ그 이외의 wff 는 없다.

 

예 : P ⊃ ￢￢는 wff 가 아니다.

 

추론 규칙

 

증명의 정의

 

의미론

(1) 해석 ... 이 부분이 명제논리와 현실에 적용했을때의 참, 거짓에 대한 부분임.

(2) 명제 진리표

(3) 만족성과 모델

(4) 타당성

(5) 동치

   드모르간 (DeMorgan) 의 법칙 :

   대우 (Contrapositive) 법칙 :

(6) 귀결

 

정당성과 완전성

 

아래에 표시된 출처의 글을 요약한 것입니다.

이글은 명제논리 Propositional Calculus 에 관한 글로

상당히 어려운 개념들을 포함하고 있습니다.

 http://www.aistudy.com/logic/propositional_nilsson.htm